Форум Артридеров

Что сделал Аристотель?

Развитие всех наук протекает в условиях возникновения множества новых идей, многие из которых оказываются ошибочными. Рождаются и умирают десятки, а то и сотни теорий, бывает, что новые данные опровергают ранее сложившиеся убеждения. Нередки случаи, когда на этих убеждениях покоилось стройное здание данной науки. Лишенное их, оно рассыпается, как карточный домик, а на его месте начинает возводиться новое здание. Так в драматических столкновениях, среди которых изредка вспыхивают гениальные открытия, кропотливым трудом десятков поколений исследователей создается и модернизируется здание той или иной науки.
Но из всего всеобщего процесса есть одно парадоксальное исключение. Существует теория, построенная одним человеком и практически сразу, которую никто не пытался критиковать или опровергать. Ее лишь уточняли и модернизировали. И хотя со времени ее создания прошло уже значительно больше двух тысяч лет, она по-прежнему занимает почетное место в науке.
В средние века автор этой теории пользовался такой популярностью, что его наверняка бы причислили к святым, если бы он не родился за четыреста лет до рождения основателя этой религии. Это исключение — силлогистика, созданная гениальным мыслителем древности Аристотелем. На протяжении многих столетий силлогистика была единственной моделью дедуктивных рассуждений.
В этом смысле она сыграла исключительную роль в становлении всех наук вообще, ибо стала для них методологией научного мышления.
Прежде, чем пояснить вновь появившиеся понятия, попробуем ответить на вопрос: какую задачу хотел решить Аристотель, создавая свою теорию? Он жил в те времена, когда научные споры были основным видом научной деятельности. «В споре рождается истина» — выражение, пришедшее к нам из эпохи этой седой древности. Только в дискуссиях и спорах можно было отстоять свою точку зрения и усвоить, что хочет сказать твой коллега. Со времен Сократа получили широкое распространение специальные виды спора — сократические беседы. В ходе такого спора доказательство выдвинутого положения защищалось с помощью ответов двух типов («согласен» или «не согласен») на любые высказывания оппонентов выдвинутого положения.

Искусство вести подобные беседы высоко ценилось. И, по-видимому, одной из первопричин исследований Аристотеля было стремление найти такие формы рассуждений, которые при правильном их использовании не нарушали бы истинности исходного положения. Истинность тут понималась не как некоторый абсолют. Идея была в другом. Как строить рассуждения, чтобы они лишь поддерживали исходное положение (в его истинности надо было убедить оппонентов), а не опровергали его? Помня о весьма популярном Сократе, Аристотель не мог не знать, что часто для показа силы своей логики этот мыслитель выдвигал заведомо ложное положение, но с помощью специально построенных софистических рассуждений убеждал слушателей в истинности выдвинутого ложного положения. Конечно, софистические рассуждения содержали скрытую ошибку, нарушали какие-то фундаментальные законы логики человеческих рассуждений. Но вскрыть их было невозможно, пока эта логика сама была не описана и не формализована.
Аристотель и его современники уже знали, что существует, по крайней мере, три типа рассуждений:
от общего к частному,
от частного к общему и
от частного к частному.
Идея первого типа рассуждений основывалась на том явном для людей положении, что если общее утверждение верно, то должно быть верными и частные утверждения, определяемые этим общим рассуждением. Именно такого типа рассуждения и называют дедуктивными.

Два других типа рассуждений с точки зрения истинности вывода куда менее ясны. Рассуждения от частного к общему отражают наш путь постижения окружающего мира и нас самих в нем. Общие утверждения возникают на пути обобщения частных, отражающих совокупность наших единичных опытных фактов. Такие рассуждения называются индуктивными. Истинность общего результата таких рассуждений для людей становится очевидной, если частных утверждений, подтверждающих этот результат, довольно много, а опровергающих утверждений нет. Еще более сложная ситуация складывается при переходе от одних частных утверждений к другим частным, как-то связанным с исходными. Здесь человеческая интуиция в оценке истинности результата почти бессильна. Такие рассуждения, которые мы будем в этой книге называть правдоподобными, лежат где-то на границе между допустимыми и недопустимыми формами человеческих рассуждений.
Исходя из этих соображений (не по форме, конечно, а по существу) Аристотель выбрал для формализации именно дедуктивные рассуждения. Хотя и в область индуктивных рассуждений Аристотель внес определенный вклад, но он, конечно, не может сравниться с тем, что удалось сделать этому философу в области дедуктивных рассуждений.

Еще раз зафиксируем два положения, связанные с работой Аристотеля в интересующей нас области:
1. Исходные посылки рассуждения являются истинными;
2. Правильно применяемые приемы перехода от посылок к другим вытекающим из них утверждениям и из посылок и ранее полученных утверждений к новым вытекающим из них утверждениям должны сохранять истинность всех получаемых утверждений, т. е. истинные посылки порождают только истинные следствия. Именно это свойство силлогистики Аристотеля, как со временем стала называться созданная им система, позволила средневековому философу и богослову Фоме Аквинату использовать теорию Аристотеля для обоснования всей христианской теологии. Сделал это он с помощью следующего приема. Поскольку по учению христианской церкви определенная часть сочинений, составляющая книги Ветхого и Нового Заветов, является бого-вдохновенной, то все утверждения, содержащиеся в них, являются абсолютно истинными. Их истинность не меняется. А значит, они образуют посылочный базис логической системы, в которой невозможны противоречия. Из них можно с помощью силлогистики Аристотеля порождать новые утверждения, которые также будут истинны. И если многие из этих утверждений человеческий рассудок отказывается принимать, сомневается в их допустимости, то, следовательно, рассудок земного человека слаб и не дорос еще до истинных откровений. Ведь еще на заре распространения христианского учения один из его апологетов Тертуллиан, обсуждая не поддающийся анализу с помощью рациональных рассуждений догмат о троичности божества, сказал: «Верую, потому что абсурдно!»
Это же свойство силлогистики использовалось и в дальнейшем. Например, в судебной практике, когда вывод о виновности или невиновности человека проистекал из принятия в качестве истинных посылок материалов предварительного следствия (в их истинность надо поверить абсолютно!) и применения к этим посылкам процедур порождения новых утверждений по правилам теории Аристотеля. Ясно, что подобное перенесение силлогистики и иных дедуктивных систем на различные сферы человеческой деятельности может принести вовсе не пользу, а вред.
Но сейчас нам пора переходить к изложению сути той теории, которую создал Аристотель.

Краткий очерк силлогистики Аристотеля необходимо предварить несколькими замечаниями. То, как она будет здесь излагаться, это, конечно, не прямой перевод его сочинения. Многочисленные поколения логиков и философов вводили новые обозначения и понятия, связанные с тем, что предложил Аристотель. И сегодняшнее изложение силлогистики, будь сейчас жив Аристотель, наверное, показалось бы ему непривычным. Но суть его положений осталась неизменной. Из-за того, что изложение самого Аристотеля не полностью формализовано, возможны различные интерпретации положений его теории, истолкования смысла используемых в ней обозначений и понятий. Это приводит к тому, что, сохраняя верность основным положениям Аристотеля, можно построить несколько дедуктивных систем, имеющих различия в определенных деталях. Именно поэтому до последних лет продолжаются активные исследования в области силлогистических систем и время от времени появляются системы силлогистики, являющиеся модификацией ранее известных.

Введем понятие сущности. Под сущностью будем понимать все то, о чем можно нечто утверждать. Под это понятие подходят объекты окружающего нас мира, явления его, протекающие в нем процессы, окружающие нас субъекты, включая нас самих. Вообще, все, о чем что-то можно говорить на естественном языке.

Сущности могут образовывать классы — совокупности, объединенные с помощью общего имени. При этом отдельные сущности могут иметь уникальные собственные имена*. Для обозначения классов сущностей будем использовать традиционные буквы S, Р и М, а для обозначения конкретных сущностей — малые латинские буквы а, b и т. д.

* Учение об именовании (номинации) — одна из обширных и сложных областей логики. В этой книге мы используем термины, касающиеся имен, во многом опираясь на интуитивные представления

Введем еще два квантора: всякий и некоторый. Первый из них, будучи поставлен рядом с именем класса, показывает, что в высказывании будет утверждаться нечто, что одновременно истинно для всех сущностей, входящих в этот класс. Если класс пуст, т. е. не содержит конкретных сущностей, то высказывание говорит о пустом классе. Например, «Всякий демон способен сжимать и растягивать время», если не верить в существование демонов, есть высказывание о пустом классе. Однако, несмотря на то, что класс демонов пуст, высказывание все-таки обладает определенным смыслом, понятным каждому человеку. Во всяком случае, человек всегда может себе представить воображаемый мир, в котором демоны не только существуют, но и являются важными действующими персонажами этого мира.
Чистая игра с именами несуществующих сущностей часто нравится людям, особенно детям. Вот прекрасный пример этого, взятый из книги Григория Остера «Как хорошо дарить подарки».

Пампукская хрюря
Как-то раз слоненок, удав и мартышка сидели и разговаривали. Вдруг прилетел попугай и спросил:
— Вы не знаете, что такое кукаляка?
— Нет. Не знаем, — ответил слоненок.
— Кукаляка, — важно сказал попугай, — это такой сундучок, в котором лежит мукука
— А что такое мукука? — спросила мартышка.
— Мукука — это такая коробочка, в которой лежит бисяка,— ответил попугай.
— А бисяка что такое? — удивился удав.
— Бисяка — это ящичек, в котором лежит хрюря,— сказал попугай. Подумал и добавил: — Пампукская хрюря.
— Что это за пампукская хрюря? — возмутился удав. — Никаких пампукских хрюрей я никогда не видел.
— Пампукская хрюря — это такой пакетик, в котором лежит мамурик.
— Понятно,— сказал слоненок.—- Мамурик — это. наверное, тоже какой-нибудь ящичек, в котором лежит еще что-то. Ну а все-таки, что же там в самой середке этих ящиков, коробок и пакетов? Скажи, пожалуйста, попугай.
— А разве это важно? — ответил попутай и улетел.

Вторым квантором в силлогистике Аристотеля является квантор «некоторый». Если он поставлен рядом с именем некоторого класса сущностей, то это означает, что в высказывании, будет нечто утверждаться относительно какого-то подкласса сущностей, входящих в данный класс. Этот подкласс может сливаться со всем классом или содержать единственную конкретную сущность из исходного класса. Важно только условие непустоты этого подкласса, если исходный класс не пуст. А если он пуст, то подкласс образуют мыслимые конкретные сущности. В высказывании «Некоторые демоны слушали музыку внимательно» в воображаемом классе сущностей с именем «демоны» речь идет о некотором подклассе.
С помощью кванторов строятся шесть схем базовых высказываний, используемых в силлогистике.

1. Всякий S есть Р.
2. Всякий S не есть Р.
3. Некоторый S есть Р.
4. Некоторый S не есть Р.
5. S есть Р.
6. S не есть Р.

Отметим, что если S определяет сущности, о которых что-то утверждается в высказывании, то Р определяет, что именно о них говорится.

Кванторы выделяют тот подкласс сущностей, о которых идет речь. Поэтому иногда S называют субъектом высказывания, а Р — предикатом высказывания. (Сказуемым,определяющим Субъекта-Подлежащее)
Мы эти термины в дальнейшем использовать не будем.

Если высказывания 1—4 относятся к некоторым утверждениям о принадлежности или непринадлежности множеств элементов некоторому классу элементов, обладающих свойством Р, то высказывания 5 и 6 имеют несколько иную природу. Высказывание 5 утверждает, что класс S совпадает с классом элементов, обладающих свойством Р, а высказывание 6 говорит о том, что эти классы не совпадают.
Для индивидуальных конкретных сущностей имеются две схемы базовых высказываний.

7. а есть Р.
8. а не есть Р.

В силлогистике Аристотеля двух последних высказываний не было. Мы их приводим для полноты картины.
В приведенных восьми схемах базовых высказываний имеется один элемент, который мы пока не объяснили. Он представлен связками «есть» и «не есть». К сожалению, в русском языке эти связки не имеют однозначного смыслового значения.
Следующие примеры иллюстрируют это:
«Треугольник есть многоугольник»,
«Фигура АВС есть прямоугольный треугольник»,
«Сумма квадратов катетов есть квадрат гипотенузы»,
«Причина есть».
В этих четырех примерах связка «есть» используется в четырех различных смыслах.
В первом предложении говорится о включении одного множества сущностей в другое. В теории множеств этот случай задается с помощью отношения S "вложено в" Р.
Во втором случае «есть» трактуется как отношение принадлежности элемента множеству, т.е. как а "является элементом" Р.
В третьем высказывании вместо «есть» подразумевается знак равенства,
а в последнем случае «есть» определяет лишь фиксацию наличия сущности «причина».
Ясно, что при такой неоднозначности невозможно построить строгую теорию.

Поэтому, следуя Аристотелю, будем интерпретировать связки «есть» и «не есть», когда они соединяют два класса, как отношения включения или невключения множеств сущностей, образующих эти классы, а когда они соединяют в соответствии со схемами семь и восемь конкретную сущность и класс, как отношения принадлежности или непринадлежности элемента к множеству.
Тогда смысл базовых высказываний можно задать наглядно с помощью так называемых жергоновых отношений, показанных на рис. 8.
В табл. 1 установлено соответствие между схемами базовых высказываний и случаями, приведенными на рис. 8.

Таблица 1

1. Всякий S есть Р.
2. Всякий S не есть Р.
3. Некоторый S есть Р.
4. Некоторый S не есть Р.
5. S есть Р.
6. S не есть Р.
7. а есть Р.
8. а не есть Р.

Приведенная интерпретация смысла базовых высказываний позволяет выполнять две процедуры: по высказыванию определять, какие взаимоотношения между сущностями классов S и Р реализуются, и по знаниям о том, какие взаимоотношения между сущностями этих классов имеют место, определять соответствующие высказывания с уверенностью, что они являются истинными. Легко заметить, что при зафиксированной в таблице интерпретации базовых высказываний схемы 3 и 4 аналогичны схемам 5 и 6, эти высказывания с точки зрения истинности не различаются. В других интерпретациях силлогистики они могут принимать значения «истина» и «ложь» на различных областях жергоновых отношений.
Задача определения истинности высказывания связана с необходимостью иметь специальные процедуры, которые могли бы проверять взаимосвязь классов S и Р, а также вхождение конкретной сущности а в класс Р. В силлогистике существование таких эффективно работающих процедур постулируется.
Приведем ряд примеров высказываний с одновременным указанием областей, в которых эти высказывания интерпретируются как истинные. Области для разбираемых примеров показаны на рис. 9. Номера этих областей, если это специально не оговорено, соответствуют номерам примеров. Связки в ряде случаев опускаются, но их восстановление тривиально.

1. Всякий огородный овощ съедобен (S — класс огородных овощей, Р — класс съедобных сущностей).
2. Всякий автомобиль не есть трамвай (S — класс автомобилей, Р — класс трамваев).
3. Некоторые люди могут прыгнуть в высоту на два метра (S — класс людей, Р — класс живых существ, которые способны прыгнуть в высоту на два метра и более).
4. Некоторые деревья сбрасывают на зиму свою листву (S — класс деревьев, Р — класс всех вечнозеленых растений, включающий в себя и те деревья, которые остаются зимой зелеными).
5. Отец и мать есть родители (S — класс, состоящий из двух элементов «отец» и «мать», Р — класс с именем «родители», в высказывании содержится утверждение о совпадении по объему этих двух классов).
6. Приматы не есть все обезьяны (S — класс приматов, Р — класс всех обезьян, среди которых и все приматы, т. е. высказывание соответствует случаю 1 на рис. 9). Другой пример этого же типа: люди высокого роста не только те, чей рост выше двух метров (S — класс высоких людей, Р — класс тех существ, чей рост выше двух метров, данному высказыванию соответствует случай 6 на рис. 9).
7. Иванов — сотрудник нашей лаборатории (а — единичный объект Иванов, Р — списочный состав «нашей лаборатории», той конкретной лаборатории, о которой говорится в данном высказывании).
8. Петров — не член клуба филателистов Москвы (а — единичный объект, Р — список членов клуба филателистов Москвы на тот момент времени, когда актуализируется это высказывание).

Любой вывод, представимый в силлогистической теории Аристотеля, может иметь или не иметь посылок. По числу используемых посылок можно различать выводы ранга 0, 1, 2 и т. д.
Утверждения, для которых посылки не нужны, называются законами силлогистики.
Таких законов в силлогистике Аристотеля три:

закон тождества,
закон противоречия и
закон исключенного третьего.

Прежде чем перейти к их формулировкам, введем обозначения, восходящие к Петру Испанскому, жившему в XIII веке и написавшему широко распространенное в Средние века сочинение, в котором излагалась логика Аристотеля с теми добавлениями, которые к этому времени возникли. Эти обозначения следующие:

А — Всякий + есть +.
Е — Всякий + не есть +.
I — Некоторый + есть +.
O — Некоторый + не есть +.

В этих записях знак плюс означает свободное место, на которое можно поставить имя класса сущности. В первой позиции этот класс играет роль класса S, а во второй — Р. Условимся для удобства записи конкретные классы обозначать малыми буквами s и р.

Введем еще один символ, называемый знаком выводимости и обозначаемый |—. Запись F |— Q означает, что если относительно всех посылок, входящих в совокупность F, известно, что они выводимы, то заключение Q также выводимо. Если имеется запись |— Q, то считается, что заключение Q выводимо всегда и не зависит от выводимости каких-либо других утверждений. Другими словами, в последнем случае мы имеем дело с выводами нулевого ранга, т. е. с законами силлогистики.

Первым среди этих законов является закон тождества, который формулируется следующим образом: всякий s есть s или в принятых обозначениях |— Аss. Каков его смысл? Поскольку в позиции Р здесь стоит то же самое s, что и в позиции S, то смысл закона состоит в утверждении, что всякая конкретная сущность, входящая в класс S, обладает всеми свойствами элементов этого класса. На первый взгляд может показаться, что утверждение Аss практически не содержит информации. Но это, как ни удивительно, не так. В человеческом общении утверждения типа Аss встречаются нередко. И, более того, несут определенную эмоциональную окраску. «Осень есть осень»,— говорим мы. «Да. Ненастье есть ненастье»,— отвечает наш собеседник. Вполне содержательный разговор. Мы просто напоминаем друг другу, что такое осень, не перечисляя всех тех характеристик, которые связаны с индивидуальными сущностями (конкретными периодами осени в данной местности), подпадающими под общее наименование «осень» или «ненастье». А вот отрывок из романа Б. Окуджавы «Свидание с Бонапартом»: «Так ведь скотный двор — он и есть скотный двор,— наставлял я блудного сына,— или в Голландии скотных дворов не бывает?»
Для формулировки следующих законов введем две логические связки,
конъюнкцию, которую будем обозначать &, и
дизъюнкцию, которую будем обозначать V.
Смысл их состоит в том. что истинность сложных утверждений F1&F2 и F1 V F2 определяется по следующим жестким правилам: F1&F2 истинно лишь в случае, когда истинны утверждения F1 и F2 , в остальных случаях конъюнктивное утверждение является ложным; F1 V F2 ложно только тогда, когда ложны одновременно оба утверждения F1 и F2, а в остальных случаях дизъюнктивное утверждение является истинным.
Введем, наконец, обозначение "не", которое будем интерпретировать в записи "не"F как утверждение о том, что неверно, что F является истинным.
Закон противоречия записывается следующим образом:
|— "не"(Аsр & Еsр).
Он говорит, что невозможна ситуация, когда конкретные сущности из класса 5 одновременно входят в р и не входят в него. Этот закон кажется очевидным. Но в первой главе мы уже приводили примеры человеческих утверждений, которые по форме выглядели как Аsр & Еsр. Напомним одно из них: «Речка движется и не движется, вся из лунного серебра». Что здесь говорится? Некоторая конкретная сущность из класса сущностей с именем «речка» одновременно принадлежит и не принадлежит к классу сущностей с именем «движущиеся объекты». И тем не менее, несмотря на явное противоречие, мы не считаем утверждение о речке абсурдным, а вкладываем в него определенный смысл. Например, такой: «Блики луны падают на поверхность воды, ветерок создает рябь, и нельзя сказать, движется вода в речке или замерла неподвижно».

Еще большую критику может вызвать закон исключенного третьего, обычно записываемый следующим образом:
|— (Isр V Оsр).
Он говорит о том, что для каждой конкретной сущности а, входящей в s, истинно одно из двух утверждений: «а входит в p» или «а не входит в p». Совместно эти два утверждения не могут быть истинными, что следует из закона противоречия. Этот закон в процессе развития логики подвергается постоянной критике, ибо вся человеческая практика пронизана примерами его невыполнения. Об этом мы будем говорить в последующих главах книги. Заметим лишь, что в результате отказа от истинности закона исключенного третьего была построена конструктивная логика, в которой не встречаются парадоксы, связанные с принятием в качестве исходного закона дедуктивной теории закона исключенного третьего.
Геометрические соотношения, легко усматриваемые из рис. 8, позволяют написать несколько выводов первого ранга, т. е. с одной посылкой, истинность которой является достаточным условием для истинности заключения. Вот примеры таких выводов. Их справедливость непосредственно следует из рис. 8 и табл., задающей условия истинности для схем базовых высказываний
Asp |— "не" Osp; Esp |— Esp; Asp |— Isp;
Esp |— "не" Isp; Isp |— Ips; Esp |— Ops.
Теперь можно перейти к объектам, называемым силлогизмами. Силлогизмы у Аристотеля — это выводы ранга 2, т. е. выводы, которые можно сделать на основании истинности двух посылок. В этих двух посылках фигурируют три класса сущностей S, Р и М. Иногда, следуя многовековой традиции, их называют меньший, больший и средний термин. Каждая из посылок и заключение представляют собой базовые высказывания силлогистики.

В соответствии с тем, как используются S, Р и М в высказываниях, в силлогистике выделяют четыре фигуры. Схематически эти фигуры показаны на рис. 10. Номера около схем соответствуют номерам фигур в силлогистике. Каков смысл этих схем? Возьмем первую фигуру. Для того чтобы породить с ее помощью конкретные типы силлогизма (в силлогистике они называются модусами), надо выбрать из четырех символов А, Е, I, О по одному для первой и второй посылок и для заключения. Нетрудно подсчитать, что количество комбинаций расстановки четырех символов по трем позициям равно 4^3 = 64. При четырех фигурах это дает 256 различных модусов.
Проиллюстрируем несколько возможных модусов для первой фигуры.
Рассмотрим комбинацию ААА. Ей соответствует следующий модус силлогизма:

Всякий M есть P
Всякий S есть M
______________
Всякий S есть P

Попробуем проверить, является ли этот силлогизм правильным. Другими словами, если его посылки истинные, то всегда ли будет истинным заключение. Эту проверку проведем, используя жергоновы отношения и табл. 1. Первая посылка, как это следует из таблицы, дает две возможности соотношений М и Р. Эти возможности показаны на верхнем ярусе рис. 11. Поскольку вторая посылка также истинна, то на нижнем уровне рис. 11 показаны области, в которых одновременно выполняются требования к истинности обеих посылок. Таких возможных областей три, как это видно из рисунка. Для всех трех областей между S и Р имеются жергоновы отношения такого типа, который обеспечивает истинность заключения силлогизма. Это значит, что при истинности его посылок результат вывода, т. е. переход к заключению, всегда возможен и заключение будет истинным.

Источник